Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Chào mọi người! Hôm nay, mình sẽ nói về một thứ căn bản của căn bản nhất của Đại số tuyến tính đó là phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính. Đây là khái niệm mình thấy làm nền tảng rất chắc để giải thích những lý thuyết khác của môn học này. Vậy thế nào là phụ thuộc hay độc lập tuyến tính?

Về định nghĩa toán học, chúng được nêu như sau được nêu ra như sau:

"Một tập hợp các vector được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu ít nhất một vector có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Nếu chúng không thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính, thì ta gọi những vector này độc lập tuyến tính với nhau."

Tuy nhiên cách giải thích này vẫn còn khá hàn lâm. Hãy chia nhỏ nó ra và giải thích từng phần một theo một cách dễ hiểu hơn ở phần tiếp theo.

Tổ hợp tuyến tính

Giả sử chúng ta có 3 vector $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$ và để cho đơn giản, mình sẽ cho chúng thuộc $\mathbb{R}^2$.
$$\boldsymbol{a} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$
Một tổ hợp tuyến tính của 3 vector này tức là chúng ta nhân trước mỗi vector một số bất kỳ rồi cộng chúng lại.
$$s_a\cdot\boldsymbol{a} + s_b\cdot\boldsymbol{b} + s_c\cdot \boldsymbol{c}$$
Ví dụ một tổ hợp tuyến tính của 3 vector trên có thể là:
$$1\cdot\boldsymbol{a} + 2\cdot\boldsymbol{b} +1\cdot\boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 6\\ 3 \end{bmatrix}$$
Về mặt hình học, khi chúng ta nhân một vector, tức là ta đang kéo dài độ dài của chúng ra và đổi chiều nếu ta nhân với một số âm. Tuy nhiên, bạn có thể chắc chắn vector sau khi thay đổi vẫn luôn nằm trên một đường thẳng là phương của nó. Trong trường hợp đặc biệt là chúng ta nhân với số 0 thì vector đó bị triệt tiêu.

Còn nếu cộng 2 vector, tức là ta đang ... cộng chúng lại. Hay có thể nói là kết hợp 2 vector lại để tạo nên một vector hoàn toàn mới.

Nhìn chung, tổ hợp tuyến tính của 3 vector $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$ là tất cả các vector có được bằng cách kéo dài và cộng 3 vector lại một cách tùy ý.

Phụ thuộc tuyến tính

Cùng với định nghĩa của tổ hợp tuyến tính vừa rồi, ta có thể xem phụ thuộc tuyến tính là khi trong 3 vector của chúng ta, có một vector có thể được tạo ra bằng tổ hợp tuyến tính của 2 vector còn lại. Trong các vector của chúng ta, ta có thể thấy vector $\boldsymbol{c}$ có thể được tạo ra từ $\boldsymbol{a}$ và $\boldsymbol{b}$.
$$\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} & = \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ & =\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \\ & = \boldsymbol{c} \end{split} \end{equation}$$
Điều này có nghĩa là bản thân vector $\boldsymbol{c}$ không mang lại thêm thông tin gì mới cả mà hoàn toàn phụ thuộc vào 2 vector còn lại.

Tuy nhiên, ta cũng có thể nói là vector $\boldsymbol{b}$ hay $\boldsymbol{a}$ phụ thuộc vào 2 vector còn lại. Điều này hoàn toàn phụ thuộc vào việc bạn chọn những vector nào làm "chuẩn".

Độc lập tuyến tính

Vậy còn độc lập tuyến tính thì sao? Dễ thôi, nếu tất cả các tổ hợp tuyến tính của $\boldsymbol{a}$ và $\boldsymbol{b}$ không thể tạo được vector còn lại thì $\boldsymbol{c}$ độc lập với $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$. Hãy đến với góc nhìn đại số của vấn đề này trước.

Nếu 3 vector của chúng ta phụ thuộc tuyến tính với nhau, tức là
$$\begin{align*} s_a\cdot\boldsymbol{a} +s_b\cdot\boldsymbol{b} & = s_c\cdot\boldsymbol{c}\\ \Leftrightarrow s_a\cdot\boldsymbol{a} +s_b\cdot\boldsymbol{b} - s_c\cdot\boldsymbol{c} & = 0 \end{align*}$$
Chú ý: Theo đúng chuẩn toán thì mình phải viết là $\vec{0}$ để biểu thị cho vector không nhưng điều này buộc mình phải thay đổi cách mình ký hiệu vector gây ra không có sự nhất quán. Nên 0 ở đây các bạn hãy hiểu là vector không nhé.
Tuy nhiên vì $s_c$ là một con số bất kỳ nên ta có thể bỏ dấu âm đi cũng không sao. Từ đó, ta được phương trình bên dưới và ngoài các hệ số $(0,0,0)$ thì vẫn còn những hệ số khác thỏa phương trình này.
$$\tag{1} s_a\cdot\boldsymbol{a} +s_b\cdot\boldsymbol{b} + s_c\cdot\boldsymbol{c} = 0 $$
Tuy nhiên, như các bạn đã biết, chúng ta sẽ không thể tìm được bất kỳ hệ số nào để thỏa phương trình $(1)$ ngoại trừ nhân 0 cho cả 3 bọn chúng. Điều này dẫn ta đến một định nghĩa nữa của độc lập tuyến tính.

"Một bộ vector $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \ldots , \boldsymbol{v_n}$ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng tồn tại một nghiệm $a_1, a_2, \ldots , a_n$ mà có ít nhất một hệ số khác không thỏa phương trình $$a_1\cdots\boldsymbol{v_1} + a_2\cdot\boldsymbol{v_2} + \ldots + a_n\cdot\boldsymbol{v_n} = 0$$
Và chúng được gọi là độc lập tuyến tính khi chỉ có một nghiệm duy nhất là không cho tất cả các hệ số. $a_i=0$ cho $i=1,\ldots, n$."

Chuyển qua góc nhìn hình học, ta thấy rằng tổ hợp tuyến tính của $\boldsymbol{a}$ và $\boldsymbol{b}$ đã bao hết các điểm trong không gian $\mathbb{R}^2$. Các duy nhất để khiến $\boldsymbol{c}$ độc lập tuyến tính với 2 vector kia là vươn ra khỏi tọa độ $\mathbb{R}^2$ và đi vào $\mathbb{R}^3$, cung cấp thông tin mới trong hệ tọa độ này.

Điều này cũng mang đến một tính chất thú vị trong một không gian $\mathbb{R}^n$ bất kỳ. Rằng với $\mathbb{R}^n$ bất kỳ, chỉ có tối đa n vector độc lập tuyến tính với nhau. Tính chất này tương đối dễ hiểu nếu ta đặt trường hợp trong một không gian hai chiều, nếu vector đầu tiên mang thông tin về một chiều thì vector thứ hai bắt buộc phải mang thông tin của chiều còn lại để có thể độc lập với vector đầu tiên. Nhưng điều này làm cho không còn chiều mới nào mà vector thứ ba có thể lấy nữa.

Nhưng chưa dừng lại ở đó, điều tuyệt vời là chúng ta bây giờ có thể sử dụng tính chất này lên không gian bốn chiều hoặc năm chiều, những chiều nằm ngoài sức tưởng tượng của con người nhưng có thật. Đó là cái đẹp của Đại số tuyến tính, nó giúp ta "nhìn thấy" những chiều vượt quá sức tưởng tượng của ta.

Tổng kết

Vậy là chúng ta đã duyệt qua định nghĩa của độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. Nếu các bạn nhận thấy sai xót hoặc có góp ý, thắc mắc, xin để lại bình luận phía bên dưới. Cảm ơn các bạn đã đọc.

Nguồn tham khảo

• Wikipedia
• Youtube: Rec 1 | MIT 18.085 Computational Science and Engineering I, Fall 2008
• Khan Academy:
  • Introduction to linear independence
  • More on linear independence